【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，其值可以通过三角恒等式或特殊角的和差公式进行推导。由于75°可以表示为45°+30°，因此我们可以利用正切的加法公式来计算它的精确值，并以保留根号的形式表达。
一、tan75°的推导过程
根据正切的加法公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} $
代入公式得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$
为了简化分母中的根号，我们可以对分子分母同时乘以 $ 3 + \sqrt{3} $，即有理化处理：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、结果总结
通过上述推导可知，tan75° 的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，该表达形式保留了根号，符合题目要求。
三、表格展示
| 角度 | 正切值（保留根号） |
| 75° | $ 2 + \sqrt{3} $ |
四、小结
tan75° 是一个常见且重要的三角函数值，其精确表达式为 $ 2 + \sqrt{3} $。这个结果可以通过正切加法公式推导得出，适用于需要精确计算的数学问题或工程应用中。