【不等式常见公式】在数学学习中，不等式是重要的基础内容之一，广泛应用于代数、几何、函数分析等多个领域。掌握常见的不等式公式，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。以下是对一些常见不等式的总结，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本不等式
| 不等式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||||||
| 均值不等式（AM ≥ GM） | $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$（$a, b > 0$） | 两个正数的算术平均大于等于它们的几何平均 | ||||||||
| 三角不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 向量或实数的绝对值满足该不等式 | ||
| 绝对值不等式 | $ | a - b | \geq | a | - | b | $ | 用于处理绝对值的差与和的关系 | ||
| 柯西不等式 | $(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2$ | 适用于向量内积的不等式 | ||||||||
| 杨不等式（Young不等式） | $ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}$（$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$） | 用于积分不等式推导 |
二、二次不等式
对于形如 $ax^2 + bx + c > 0$ 或 $ax^2 + bx + c < 0$ 的不等式，其解集取决于判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 和系数 $a$ 的符号。
| 判别式情况 | 解集情况 |
| $\Delta > 0$ | 有两个不同的实根，根据 $a$ 正负决定区间 |
| $\Delta = 0$ | 有一个重根，解集为 $x \neq x_0$ 或 $x = x_0$（视不等号而定） |
| $\Delta < 0$ | 无实根，若 $a > 0$，则恒成立；若 $a < 0$，则无解 |
三、其他常用不等式
| 不等式名称 | 公式表达 | 应用场景 |
| 贝努利不等式 | $(1 + x)^r \geq 1 + rx$（$x > -1, r \geq 1$） | 用于指数增长或衰减的近似估算 |
| 琴生不等式 | 若 $f$ 是凸函数，则 $f\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}{n}$ | 用于证明函数的极值问题 |
| 排序不等式 | 若 $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$，则 $\sum a_i b_i \geq \sum a_i b_{\sigma(i)}$ | 用于排列组合中的最值问题 |
四、总结
不等式不仅是数学考试中的高频考点，也是实际问题建模的重要工具。掌握这些常见不等式的基本形式和适用条件，有助于在解题过程中快速找到突破口。建议结合具体例题反复练习，加深理解，提升应用能力。
通过表格的形式整理这些不等式，不仅方便记忆，也能帮助我们在面对复杂问题时迅速判断使用哪种不等式更为合适。希望本文能对大家的学习有所帮助。