【复变函数与积分变换公式汇总】在数学的众多分支中，复变函数与积分变换是工程、物理和应用数学中的重要工具。它们不仅帮助我们理解复杂的数学现象，还广泛应用于信号处理、控制理论、量子力学等领域。本文对复变函数与积分变换中的主要公式进行系统性总结，便于查阅与复习。
一、复变函数基本概念
复变函数是以复数为自变量的函数，通常表示为 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，其中 $ z = x + iy $，$ u $ 和 $ v $ 是实函数。
基本性质：
| 名称 | 公式 | 说明 | ||
| 复数表示 | $ z = x + iy $ | $ x, y \in \mathbb{R} $ | ||
| 模 | $ | z | = \sqrt{x^2 + y^2} $ | 复数的长度 |
| 幅角 | $ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $ | 复数的旋转角度 | ||
| 极坐标形式 | $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ | $ r = | z | $, $ \theta = \arg(z) $ |
| 欧拉公式 | $ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $ | 连接指数与三角函数 |
二、复变函数的导数与解析函数
复变函数的导数定义类似于实函数，但需满足柯西-黎曼方程。
柯西-黎曼方程：
若 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，则 $ f(z) $ 在某点可导当且仅当：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
$$
三、复积分与柯西定理
复积分是复变函数的重要研究内容，常见的有闭合曲线积分。
柯西积分定理：
若 $ f(z) $ 在单连通区域 $ D $ 内解析，则对任意闭合曲线 $ C \subset D $，有：
$$
\oint_C f(z)\,dz = 0
$$
柯西积分公式：
若 $ f(z) $ 在区域内解析，且 $ z_0 $ 在区域内，则：
$$
f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz
$$
四、泰勒级数与洛朗级数
复变函数可以展开为幂级数或洛朗级数，用于分析奇点附近的性质。
泰勒级数：
若 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处解析，则：
$$
f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n
$$
其中 $ a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} $
洛朗级数：
若 $ f(z) $ 在圆环域内解析，可展开为：
$$
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n
$$
五、留数定理与残数计算
留数定理是计算复积分的重要工具，常用于求解实积分。
留数定理：
设 $ f(z) $ 在区域 $ D $ 内除有限个孤立奇点外解析，则对闭合曲线 $ C $：
$$
\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k)
$$
常见奇点类型及残数：
| 奇点类型 | 公式 | 说明 |
| 可去奇点 | $ \text{Res}(f, z_0) = 0 $ | 函数在该点可补定义为解析 |
| 极点 | $ \text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z) $ | 若 $ f(z) $ 有极点，则可用此方法计算 |
| 本性奇点 | 需通过洛朗级数展开确定 | 无法用简单公式表达 |
六、傅里叶变换与拉普拉斯变换
傅里叶变换和拉普拉斯变换是积分变换的两种常见形式，用于将时域函数转换为频域函数。
傅里叶变换：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt
$$
傅里叶逆变换：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{i\omega t} d\omega
$$
拉普拉斯变换：
$$
L[f(t)] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt
$$
拉普拉斯逆变换：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} F(s)e^{st} ds
$$
七、常用变换对表
| 函数 $ f(t) $ | 傅里叶变换 $ F(\omega) $ | 拉普拉斯变换 $ F(s) $ |
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ | $ \frac{1}{s} $ |
| $ e^{-at} $ | $ \frac{1}{a + i\omega} $ | $ \frac{1}{s + a} $ |
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ \frac{\pi}{i} [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)] $ | $ \frac{\omega_0}{s^2 + \omega_0^2} $ |
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | $ \frac{s}{s^2 + \omega_0^2} $ |
| $ t^n $ | $ \frac{2\pi i^n}{\omega^{n+1}} $ | $ \frac{n!}{s^{n+1}} $ |
总结
复变函数与积分变换是现代数学和工程技术中不可或缺的工具。掌握其核心公式与思想，有助于更深入地理解和应用相关领域的知识。本文通过文字与表格的形式，系统整理了复变函数与积分变换的主要公式，适用于学习、复习和实际应用。希望对读者有所帮助。